Tore

Voici un article sur le tore, signé Jean-Jacques Dupas

 

 

Le tore dont il s'agit ici est le volume engendré par un cercle de rayon r qui tourne autour d'un axe qui ne passe pas par son centre (distance du centre R), ici on considérera R>r, un exemple de la vie courante est la chambre à air, où le Donut (il est conseillé de m'en envoyer afin que je fasse des expériences de topologie appliquée, par exemple je dois m'entrainer à les croquer suivant les cercles de Villarceau)

 

Cet article fait suite à mon article du hors-série de Tangente sur les cercles (Jean-Jacques Dupas, Les Cercles du Tore, Tangente Hors-Série format bibliothèque n°36, octobre 2009)

 

Par tout point d'un tore passe quatre cercles:

  • Un méridien
  • Un parallèle
  • Deux cercles de Villarceau de rayon R (ça c'est extraordinaire)

Si les deux premiers cercles sont assez faciles à voir, il n'en est rien des deux autres

c'est pour cela que nous avons fait un modèle physique sur une imprimante 3D avec mes amis du fablab de Ris-Orangis (Planète Science)

 

Nous avons déjà fait la conception sur le logiciel OpenScad

Ce logiciel se prête bien à ces manipulations géométriques

on prend un cercle de rayon r

commande circle (pr, $fn=100); // pr pour petit rayon

On le déplace à une distance R de l'axe des z commande  translate([gr,0,0])  // gr pour grand rayon

on le fait tourner autour de l'axe des z à une distance R, nous obtenons le tore

commande  rotate_extrude(convexity = 10, $fn = 100)

on fait l'intersection avec un cube que l'on tourne pour que sa face inférieure soit bi-tangente du cube

commande  rotate([0,angle,0]) translate([-60,-60,0]) cube([120,120,60]);

enfin on translate l'ensemble puis on le tourne pour avoir la coupe sur le plan z=0

voici le code complet:

$fn = 100;
 pr=20;
 gr=34;
 angle=asin(pr/gr);
module v1() {
 intersection(){
    union(){
        translate([0,0,pr])
        rotate_extrude(convexity = 10, $fn = 100)
       translate([gr,0,0])
       circle (pr, $fn=100);
    };
    
    translate([0,0,pr]) rotate([0,angle,0]) translate([-60,-60,0]) cube([120,120,60
   ]);
};

};
 translate([0,0,-pr]) rotate([0,-angle,0]) v1();
   

 

Attention les valeurs de pr et gr du code ne donnent pas le tore suivant, nous les avons modifiées pour avoir un modèle plus spectaculaire que je vous montrerai bientôt

 

Nous avons imprimé un tore coupé en deux, sur la photo suivante il est posé sur la table sur le plan de coupe

DSCN0585.JPG

Si on le retourne on voit clairement les cercles de Villarceau que j'ai essayé de surligner en noir

Villar.jpg

 

Puis j'ai construit un modèle en papier, de cercles de Villarceau tressés, qui se replie à plat

DSCN0589.JPG

Il faut le manipuler pour lui faire prendre du volume

DSCN0591.JPG

Mais cela constitue un tore de cercles de Villarceau

 

le 15 juillet 2015 je l'ai refait cette fois ci avec 8 pièces de chaque

DSCN0670.jpg

Donc sur la photo d'au dessus la moitié des pièces

DSCN0675.jpg

L'assemblage commence, il faut tresser les pièces

DSCN0677.jpg

Voilà déjà 3 pièces

DSCN0678.jpg

4 pièces

DSCN0679.jpg

on avance
DSCN0680.jpg

plus qu'à reboucler les tresses
torepapier1.jpg

Voilà c'est fini, un magnifique tore avec ses 8 cercles de Villarceau

 

Comme les cercles de Villarceau ne sautaient pas aux yeux j'ai modifié les proportions du tore

Olivier Daleschamps de Planète Science l'a imprimé

DSCN0657.jpg

Il est, plus, du genre chambre à air

DSCN0658.jpg

Et là les deux cercles sont évidents je n'ai pas besoin de les surligner

DSCN0684.jpg

Le 16 juillet la deuxième partie a été imprimé
DSCN0689.jpg

Les deux pièces sont identiques et on voit bien les cercles de Villarceau



21/06/2015
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