Polyèdres (l'article)

Voici une nouvelle page sur les polyèdres

Cette page est réalisée par Jean-Jacques Dupas (toutes les photos de cette page, sauf celles qui proviennent d'autres sites, sont © Jean-Jacques Dupas, toute utilisation, même partielle, de matériel provenant de cette page, photos, textes... ne peut être utilisée sans l'accord écrit de Jean-Jacques Dupas )

 

En exclusivité pour les visiteurs du blog voici mes dernières réalisations, puisque je n'ai jamais exposé ces nouveaux modèles:

 

Un simple dodécaèdre régulier fini le 08 février 2015 mais à la manière de

Léonard de Vinci dans "de Divina Proportione" de

Luca Pacioli ( le personnage central, on remarque un petit rhombi cuboctaèdre de verre à moitié rempli d'eau en haut à gauche et un dodécaèdre en bas à droite)

 

après ces remarques mon modèle. Ce n'est pas très visible mais chaque arête possède une épaisseur

DodecaDaVinci.jpgDodecaedrePlanusVacuus.JPG

mon modèle                                               Celui de Léonard le "Dodecacedron planus Vacuum"

 

Le 15 février 2015 j'ai construit un autre modèle en assemblant

AreteDodeca.jpg

30 arêtes, vue ici de l'intérieur avec

AreteDodeca.jpg

20 cornières matérialisant les sommets, les cornières sont glissées à l'intérieur des arêtes. Cela donne un

Dodecadavinci2.jpg

magnifique dodécaèdre d'arête 11 cm de longueur et de 14 mm d'épaisseur 

Dans la foulée le 21 février 2015 et dans le même esprit j'ai construit un tétraèdre (Cf. si dessous) à côté le tetracedron planus vacuus de Léonard

 

Tretracedron.jpgTetraedreVacuus.JPG

puis début avril 2015 un simple cube (je dis simple mais il ne faut pas sous-estimer le cube et le méconnaître car le cube possède un nombre incroyable de propriétés)

Je vais vous détailler la construction :

J'ai d'abord dessiné les arêtes

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puis les cornières des sommets
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Une fois collée voici la cornière de sommet

DSCF0127Petit.jpg

l'assemblage peut commencer, on introduit la cornière de sommet dans le barreau d'arête

remarquez les languettes des barreaux permettant de cacher les trous des cornières, ces languettes rendent la construction plus difficile, elles ne sont pas indispensables.

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ajout de la deuxième cornière
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continuons le carré de base

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à part, on prépare un barreau avec ses deux cornières

DSCF0140Petit.jpg
l'assemblage ne pose pas de problème

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Quand on a le carré de base on ajoute un premier montant,

DSCF0143Petit.jpg

puis un second,

DSCF0146Petit.jpg

enfin le quatrième,

DSCF0149Petit.jpg

à part on construit un autre carré, identique à celui de tout à l'heure, j'ai changé de table d'assemblage.

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Et voilà un magnifique cube à la manière de Léonard (son cubus planus vacuus)

DSCF0208Petit.jpgCubePlanusVacuus.JPG

Le 11 et 12 avril 2015 suivant la même méthode, je me suis lancé dans un défi beaucoup plus impressionnant la construction d'un icosaèdre tronqué.  Voici celui de Léonard son icosaedron Abscisus Vacuus.

IcasaedreTronquePetit.jpgIcosaedreAbscisusVacuus.JPG
Ce solide comporte 60 sommets, 90 arêtes (30 séparant 2 hexagones et 60 séparant un hexagone et un pentagone)

La conception bien que subtile m'a pris 2 h. La grosse difficulté est que les arêtes sont de deux types, celles partagées entre deux hexagones sont symétriques, alors que celles séparant un hexagone et un pentagone ne le sont pas. Enfin les cornières qui s'insèrent à chaque sommet ont toujours 2 branches sur pentagone et une branche sur hexagone. Le solide final fait 50 cm de diamètre, mais les arêtes sont trop fines il faut que je les fasse plus épaisses la prochaine fois afin d'avoir un solide moins fragile et plus proche de celui de Léonard de Vinci.

 

Aussitôt dit, aussitôt redémarré

bras1.jpg

Ci-dessus l'arête entre un pentagone et un hexagone. L'hexagone est en haut, remarquez les détrompeurs (les 2 encoches circulaires) signalent les côtés hexagonaux

cornière1Petit.jpg

Ci-dessus l'intérieur du sommet

cornière2.jpg

Ci-dessus le sommet une fois assemblé

corniere3.jpg

Ci dessus le même sommet retourné

cornière4.jpg

Ci-dessus, sur l'intérieur du sommet on assemble l'extérieur, cela donne un sommet plus rigide et moins vide

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l'assemblage peut commencer, on monte l'arête hexagone-hexagone, j'aurais dû y mettre des détrompeurs pour être homogène

assemblage2.jpg

puis les deux arêtes pentagone-hexagone, avec un vieux fond de colle je n'ai pas été très propre

assemblage3.jpg

Ce qui permet de construire le premier pentagone

Puis on avance

montage.jpg

Et j'ai enfin fini le 07 mai 2015

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Les proportions sont bien meilleures, le modèle est très rigide et beaucoup plus solide ! Le problème c'est que j'ai fait plusieurs erreurs au montage, la première c'est que j'ai tout collé au fur et à mesure, le modèle devient trop rigide donc difficile d'insérer les nouvelles pièces. En plus je me suis trompé sur un assemblage donc difficile à rattraper. Enfin j'aurais dû mettre des détrompeurs plus discrets (un petit trait de pli par exemple) et uniquement sur les branches de pentagone.

 

 

 

 

 

 

 



 


 

Polyèdres uniformes

Je voue une véritable passion aux polyèdres uniformes, j'ambitionne de tous les construire

 

Rappelons que les polyèdres uniformes sont des polyèdres composés de polygones réguliers au sens large (on admet les étoiles) dont les sommets sont transitifs (il existe un groupe de symétrie, qui transforme un sommet en tous les autres) cette famille nombreuse comprend:

  • les solides de Platon W1 -> W5                                       (tous construits)
  • les solides archimédiens W6 -> 18                                   (tous construits)
  • les étoiles de Kepler-Poinsot W20, W21, W22, W41          (tous construits) 
  • les prismes réguliers, c'est une famille infinie
  • les antiprismes réguliers c'est une famille infinie
  • les antiprismes réguliers croisés c'est une famille infinie
  • les autres non camus W67 -> W109 (tous construits sauf W88, W96, W98, W101, W105, W108, W109)
  • les camus W110 -> W119

La numérotation Wx fait référence à la numérotation de mon ami  Magnus Wenniger dans Polyhedron Models

 

Un W90 20 hexagones 12 décagones fini le 12 novembre 2014, 380 pièces! Le diagramme décrivant les intersections dans le décagone est  dans Polyhedron Models de mon ami  Magnus Wenniger, mais il est partiellement faux!

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Bien que l'ayant construit assez gros, ce n'était pas encore assez car les pentagrammes sont tous petits

 

 

Le W95 un grand icosaèdre tronqué 20 {6} et 12 {5/2} soit 20 hexagones et 12 pentagrammes que j'ai fini le 1 novembre 2014, 192 pièces seulement

W95.jpg

J'avoue que je l'ai construit un peu petit donc j'ai eu beaucoup de mal pour le finir proprement car les pièces sont très petites

 

Le W87 20 triangles et 12 pentagones fini le 28 octobre 2014, 294 pièces!

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Un modèle très difficile à réaliser, car il faut aligner tous les triangles!

 

Un W106 fini le 22 octobre 2014

20 triangles et 12 étoiles à 10 branches, 180 pièces seulement!

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Un W102 12 pentagones 10 hexagones fini le 29 août 2014, 312 pièces

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Les creux sont très profonds ce qui rend ce modèle très difficile à réaliser

 

un W100 12 pentagones et 10 hexagones

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Je l'ai construit beaucoup trop petit 15cm de diamètre en 11 couleurs

modèle très difficile à réaliser car les 10 hexagones, une couleur pour chaque, sont équatoriaux, le centre du polyèdre est très encombré, de plus les coupes hexagonales sont reliées entre elles par une arête.

 


Quelques constructions pour noël exécutés le 14 novembre 2015

Un W73 de noël

une étape de la construction

noel1.jpg

Le W73 final
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sur le même principe un W70 de noël
noel3.jpg

 

 


Un petit tour dans la quatrième dimension

 

 

En dimension 4 il y a 6 polytopes réguliers

 

  • Le simplexe 4 ou hyper tétraèdre
  • le 16 cellules ou hyper-octaèdre (le cube est l'une des projections orthogonales de l'hyper-octaèdre)
  • le 8-cellules ou hyper-cube (le cube, le dodécaèdre rhombique, le prisme à base hexagonales sont des projections orthogonales de l'hyper-cube)
  • le 24 cellules
  • le 120 cellules
  • le 600 cellules

 


 

Un hyper-octaèdre ou 16-cellules ou β4 suivant H.S.M. Coxeter

 

Projection stéréographique de pôle situé au dessus d'une cellule tétraédrique

1 tétraèdre central bleu

4 tétraèdres oranges s'appuyant sur le tétraèdre central

6 tétraèdres jaunes entre les tétraèdres oranges

4 tétraèdres jaunes s'appuyant sur le tétraèdre externe mais vers l'intérieur

1 tétraèdre bleu externe

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Le tétraèdre central bleu vu en vraie grandeur
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un premier tétraèdre orange, lui est déformé
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un deuxième
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un troisième
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un quatrième
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un premier tétraèdre jaune
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un deuxième
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Les 6+4 tétraèdres jaunes
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On referme par le tétraèdre bleu, vu en vraie grandeur sous le pôle de projection


En dimension 4 il existe plus de 40 polytopes archimédiens c'est-à-dire composés de polyèdres réguliers ou semi réguliers 

Mon premier polytope archimédien de la 4ème dimension un t1alpha4 (suivant la nomenclature de H.S.M. Coxeter) découvert en 1900 par Thorold Gosset

Ce polytope semi-régulier est composé uniquement de polyèdres réguliers octaèdres et tétraèdres:

 

Un polyèdre du groupe de l'hyper-tétraèdre composé de:

  • 5 cellules tétraédriques
  • 5 cellules octaédriques
  • 10 faces triangulaires partagées chacunes par un tétraèdres et un octaèdre
  • 20 faces triangulaires partagées chacunes par deux octaèdres
  • 30 arètes
  • 10 sommets

Une première projection stéréographique au dessus d'une cellule tétraédrique

4DArch1.jpg

Tétraèdres jaunes et octaèdres rouges

1 octaèdre rouge central

4 tétraèdres jaunes s'appuyant sur l'octaèdre central (une face sur deux)

4 octaèdres rouges s'appuyant sur l'octaèdre central (une face sur deux)

1 tétraèdre jaune externe

Une deuxième projection stéréographique au dessus d'une cellule octaédrique

4DArch2.jpg

1 tétraèdre jaune central

4 octaèdres rouges s'appuyant sur le tétraèdre central

4 tétraèdres jaunes entre les 4 octaèdres

1 octaèdre rouge externe

 

 


 

 Mon deuxième polytope archimédien de la 4ème dimension un t01alpha4 suivant la nomenclature de H.S.M. Coxeter

 

Constitué de :

  • 5 tétraèdres tronqués
  • 5 tétraèdres réguliers
  • 10 hexagones réguliers partagés par deux tétraèdres tronqués
  • 20 faces triangulaires partagées chacunes par deux tétraèdres
  • 40 arêtes
  • 20 sommets

 

J'ai construit le 27 février 2016 une projection stéréographique dont le pôle est au dessus d'un tétraèdre

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On commence par un tétraèdre tronqué rouge celui qui est le plus éloigné du pôle, il est vu en vraie grandeur. Ce tétraèdre tronqué est tout petit


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Une autre vue de ce tétraèdre tronqué

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La construction de 4 tétraèdres jaaunes déformés par la projection

 

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Les 4 tétraèdres jaunes sont assemblés

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On construit un grand tétraèdre tronqué rouge déformé par la projection
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Puis on l'assemble
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Les 4 assemblés

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On referme par le tétraèdre régulier jaune, vu en vrai grandeur, juste en dessous du pôle 

 

t01Alpha4Tetra_1.jpg

Le tétraèdre tronqué du centre
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On ajoute un tétraèdre rouge
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Un deuxième
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un troisième
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Un 4ème

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Puis 2 tétraèdres tronqués verts
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un troisième
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un quatrième
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Enfin on referme avec le dernier tétraèdre rouge qui semble enfermer les autres polyèdres de l'assemblage

 

Mais le pôle aurait pu se situer juste au dessus d'une face en forme de tétraèdre tronqué

 ce que j'ai fini le 29 février 2016

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On commence par le tétraèdre central jaune qui est régulier et tout petit
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Puis un tétraèdre tronqué rouge déformé par la projection, il est beaucoup plus gros
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on assemble
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puis les tétraèdres jaunes qui sont aussi déformés
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un deuxième tétraèdre tronqué rouge
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un autre tétraèdre jaune
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le dernier tétraèdre jaune ils sont bien 5, un au centre et quatre autres
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les tétraèdres tronqués rouges, ils sont 4 pour l'instant
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et enfin le cinquième tétraèdre tronqué rouge dans lequel les autres polyèdres semblent enfermés

 

La semaine prochaine nous construirons un autre polytope archimédien uniquement composé de tétraèdres tronqués

 


Comme promis la semaine dernière, nous sommes  le 5 mars 2016, voici le t12alpha4 suivant la nomenclature de H.S.M. Coxeter

 

Un polytope semi-régulier uniquement composé d'un seul type de polyèdres semi-réguliers des tétraèdres tronqués

Constitué de :

  • 10 tétraèdres tronqués
  • 20 hexagones réguliers
  • 20 triangles
  • 60 arêtes
  • 30 sommets

Voici une projection stéréographique, le pôle se situe au dessus du centre d'une cellule en forme de tétraèdre tronqué

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En projection stéréographique les 10 tétraèdres tronqués se répartissent en une couche centrale constitué d'un tétraèdre tronqué, une couche de 8 tétraèdres tronqués, projetés en deux types, enfin une couche externe d'un tétraèdre tronqué refermant l'hypersolide.

La première couche est constituée d'un tétraèdre tronqué rouge, vu en vraie grandeur, car dans l'axe de la projection à l'opposé du tétraèdre tronqué sous le pôle de projection.


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La deuxième couche est constituée de deux types de tétraèdres tronqués, 4 oranges et 4 jaunes. Les jaunes s'appuient sur les triangles du tétraèdre tronqué central alors que les oranges s 'appuient sur les hexagones du tétraèdre tronqué central.

Ces tétraèdres tronqués sont déformés par la projection stéréographique.



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On commence l'assemblage
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On contine, avec un tétraèdre tronqué jaune
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Puis un orange et 2 jaunes
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Puis 3 jaunes et 2 oranges
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Puis 3 jaunes et 3 oranges
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Nous avons la forme du tétraèdre tronqué externe qui referme l'hyper-solide
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Vu de dessus dans l'axe des faces nous avons une succession de triangles et d'hexagones, cette succession existe aussi dans la 4ème dimension où toutes les cellules ont la même taille, c'est une fibration

 


 

le 6 mars 2016. J'ai commencé à étudier un autre polytope archimédien le t03alpha4 suvant la nomenclature de Coxeter

 

Il est constitué de 10 tétraèdres et 20 prismes à base triangulaire

 

 

 

voici sa projection stérégraphique avec un pôle au dessus du milieu d'un tétraèdre

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On démarre par un tétraèdre rouge, le tétraèdre opposé au tétraèdre sous le pôle de projection
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Sur ce tétraèdre on monte un prisme à base triangulaire les carrés sont roses, le triangle orange est aussi équilatéral
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puis un deuxième prisme
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puis un troisième
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Enfin un quatrième
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entre les prismes on monte un tétraèdre jaune
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puis un deuxième
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puis un trosième, attention la figure est un peu coupée
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puis un quatrième, nous avons 6 creux


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on peut y loger un prisme, le carré extérieur est un carré en projection
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un deuxième prisme
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Un troisième prisme
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un quatrième
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un cinquième
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enfin un 6ème, remarquez que nous avons un magnifique cuboctaèdre
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sur certaines faces triangulaires, 4 permi les 8, celles qui proviennent des prismes, car les triangles sont toujours partagés par un tétraèdre et un prisme, nous montons un tétraèdre très déformé par la projection
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un second tétraèdre
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un troisième et un quatrième
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Maintenant au tour d'un prisme sur les carrés restants
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un deuxième
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un troisième
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un quatrième
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un cinquième


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Un sixième
t03alpha4_26.jpg

Il reste des triangles de libres sur lesquels on monte d'autres prismes, les grans triangles bleus sont équilatéraux
t03alpha4_27.jpg

Un second
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un troisième
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un quatrième
t03alpha4_30.jpg

Enfin le dernier tétraèdre jaune



14/02/2015
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