Polyèdres Uniformes

Comme Jean-Jacques Dupas le disait sur sa page des Polyèdres, il est fasciné par les polyèdres uniformes, voici donc un article réalisé par Jean-Jacques Dupas consacré aux polyèdres uniformes. Cet article n'engage que son auteur.

 

C'est l'article est le plus complet du Web sur le sujet. Tout ce que vous voulez savoir sur les polyèdres uniformes sans avoir jamais osé le demander!

 

Rappelons qu'un polyèdre uniforme est un polyèdre constitué de polygones réguliers (au sens large, les étoiles sont permises) tel qu'il existe des isométries pouvant transformer un sommet quelconque en tous les autres (c'est-à-dire qu'un sommet se présente toujours de la même façon, ce que l'on représente par la figure de sommet)

 

Les images seront :

  • des photos d'un vrai polyèdre que j'ai construit (ces photos sont copyright Jean-Jacques Dupas 2015)
  • des photos de polyèdres réalisés sur des imprimantes 3D du fab lab de Ris-Orangis par Olivier de Planète-Science  (ces photos sont copyright Jean-Jacques Dupas 2015)
  • des images de synthèse que j'ai réalisées avec le logiciel PovRay (ces photos sont copyright Jean-Jacques Dupas 2015)
  • des images tirées du mémoire d'Albert Badoureau (1853-1923)  "Mémoire sur les figures isoscèles", Journal de l'Ecole Polytechnique 49 (1881) 47-1727
  • des images tirées du livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

Pour la description des polyèdres je me réfère à la numérotation de mon ami Magnus Wenninger et de son livre  Polyhedron Models

 

Les polyèdres uniformes non convexes, hors étoiles de Kepler-Poinsot, prismes et antiprismes (les polyèdres uniformes convexes étant les solides de Platon, les solides archimédiens, les prismes réguliers convexes et les antiprismes réguliers convexes)  se rangent en deux catégories :

Les polyèdres uniformes réflexifs (de W67 à W109). Ils sont générés par le groupe de symétrie complet, Ils possèdent tous les plans de symétrie du système de symétrie, ils sont constructibles à la règle et au compas, d'ailleurs ceux que j'ai construits l'ont été sans aucun calcul, juste avec un peu de géométrie descriptive. Ils ont été presque tous découverts par Albert Badoureau sa technique aurait pu lui permettre de découvrir tous les polyèdres uniformes réflexifs.

  • Ceux à symétrie tétraédrique (il n'y en a qu'un) sont composés de triangles et carrés
  • Ceux à symétrie octaédrique sont composés de triangles, carrés, hexagones, octogones, étoiles à huit branches
  • Ceux à symétrie icosaédrique sont composés de triangles, carrés, pentagones, hexagones, décagones, pentagrammes, étoiles à dix branches

 

Les polyèdres uniformes camus (de W110 à W118) Ils sont générés par le groupe de symétrie de rotation, un sous-groupe du groupe complet, Ils ne possèdent pas en général de plans de symétrie (sauf le W110 et W118), ils ne sont pas constructibles à la règle et au compas, d'ailleurs ceux que j'ai construits l'ont été par le calcul.

Le W119 possèdent d'autres particularités, il ne peut pas être construit par la méthode de Wythoff, comme il possède des propriétés proches des camus on le range généralement dans la catégorie des camus.

 


 

Sommaire

       W70 W80 W90 W100 W110

       W71 W81 W91 W101 W111

       W72 W82 W92 W102 W112

       W73 W83 W93 W103 W113

       W74 W84 W94 W104 W114

       W75 W85 W95 W105 W115

       W76 W86 W96 W106 W116

W67 W77 W87 W97 W107 W117

W68 W78 W88 W98 W108 W118

W69 W79 W89 W99 W109 W119

 


 


W67

TétraHémiHexaèdre

Photo 281.jpg

Un TétraHémiHexaèdre à gauche à côté d'un octaèdre à droite

 

Hémi signifie que les 6 faces carrées du cuboctaèdre se sont rapprochées pour ne plus constituer que les 3 carrés équatoriaux de l'octaèdre. 

Donc Hémi Hexaèdre nous dit que l'on n'a que la moitié des 6 faces d'un cube (en fait les 6 faces carrées d'un cuboctaèdre)

Le Tétra fait sans doute référence à la symétrie tétraédrique

 

Ce solide est le seul polyèdre uniforme non convexe de symétrie tétraédrique

 

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881 qui l'a baptisé Semi-Octaèdre

Fig70.jpg

Notez l'antériorité sur Reinhardt (1885)

Dans le livre Les polyèdres réguliers, semi-réguliers et composés

Louis Joly attribue ce polyèdre à Curt Reinhardt (l'hepaèdre de Reinhardt)

 

Ce polyèdre est non-orientable et est le seul polyèdre uniforme avec un nombre impair de faces 7 d'où son nom d'heptaèdre

 

La construction:

PiècesW67.jpg

On prépare un carré complet, au centre, deux demi carrés à droite, quatre quarts de carré à gauche et 4 triangles en bas

Montage1W67.jpg

on assemble un demi carré sur la diagonale d'un carré. Notez qu'une languette est à gauche sur le carré et l'autre à droite.

Montage2W67.jpg

on assemble un deuxième demi carré sur la diagonale d'un carré.

Montage3W67.jpg

Puis on assemble les quarts de carré. On colle les languettes des triangles ensemble

W67Final.jpg

Il n'y a plus qu'à coller les triangles et on obtient ce premier polyèdre uniforme, facile non?

 

Quelques données sur ce polyèdre

Possède les mêmes sommets qu'un octaèdre

Possède les mêmes arêtes qu'un octaèdre

Faces : 4{3}+3{4}

Sommets: 8

Symbole de Wythoff 3/2 3 | 2

Rayon de la sphère circonscrite Racine de 2 pour une arête de longueur 2

Références :

p.101-102 de Polyhedron Models

p.95 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

p.46-47 Les polyèdres réguliers, semi-réguliers et composés

 Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 36

Retour au sommaire


W68

OctaHémiOctaèdre

Symétrie octaédrique

Hémi signifie que les 8 faces hexagonales du grand rhombicuboctaèdre se sont rapprochées pour ne plus constituer que les 4 hexagones équatoriaux du cuboctaèdre. Le premier octa fait référence aux 8 faces triangulaires de l'octaèdre

Photo 167.jpg

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Badoureau97.jpg

 

On le trouve également dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

Bruckner97.jpg

W68.jpg

Le W68
W68Face1.jpg

Le W68 vu d'une face triangulaire ou hexagonale


W68Sommet.jpg

Le W68 vu d'un sommet
W68VertexFigure.jpg

Le W68 et sa figure de sommet
W68VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W68 seul (les grandes barres sur des {6} et les petites sur des {3})

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un cuboctaèdre

Possède les mêmes sommets qu'un cuboctaèdre et qu'un W78

Possède les mêmes arêtes qu'un cuboctaèdre

Possède les mêmes faces triangulaires qu'un cuboctaèdre

Possède les mêmes faces hexagonales qu'un W78

Faces : 8{3}+4{6}

W68triangle2.jpg

Le triangle est vu en entier

W68hexagone2.jpg

Par contre l'hexagone équatorial est vu tantôt dessus en jaune, tantôt dessous en orange

Sommets: 12

Symbole de Wythoff 3/2 3 | 3

Rayon de la sphère circonscrite 2 pour une arête de longueur 2 comme le W78

 

Références :

p.103 de Polyhedron Models

p.96 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

 Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 37

Retour au sommaire


 

W69

Petit Cubicuboctaèdre

Les faces carrées sont celles d'un cube d'où cubi

et il y a 8 faces triangulaires et 6 faces carrées comme dans cuboctaèdre

 

Symétrie octaédrique

Photo 285.jpg

Un polyèdre inscrit dans un petit rhombicuboctaèdre

Ce solide n'est pas très spectaculaire, il ressemble trop au petit rhombicuboctaèdre, il n'est cependant pas très long à construire 62 pièces

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Fig104.jpg

On le trouve également dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900) sous une forme moins régulière

08_r.jpg

W69.jpg

Le W69
W69Face1.jpg

Le W69 vu d'une face carrée ou octogonale
W69Face2.jpg

Le W69 vu d'une face triangulaire
W69Sommet.jpg

Le W69 vu d'un sommet
W69VertexFigure.jpg

Le W69 et sa figure de sommet
W69VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W69 seule, le carré la barre en haut à droite, le triangle en bas à gauche et les deux octogones qui se croisent.

 W69triangle1.jpg

Le triangle est vu en entier
W69carre2.jpg

Le carré est aussi vu en entier
W69octogone2.jpg

Par contre l'octogone est vu partiellement par dessus en jaune et par dessous en orange

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit rhombi-cuboctaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un petit rhombi-cuboctaèdre et qu'un W92 mais pas de même rayon circonscrit.

Il possède les mêmes sommets qu'un petit rhombi-cuboctaèdre, qu'un W86 et qu'un W92 de même rayon circonscrit.

Il possède les mêmes arêtes qu'un petit rhombi-cuboctaèdre

Il possède les mêmes faces carrées et triangulaires qu'un petit rhombi-cuboctaèdre

Il possède les mêmes faces octogonales qu'un W86

Faces : 8{3}+6{4}+6{8}

 

Sommets: 24

Arêtes : 48

Symbole de Wythoff 3/2 4 | 4

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5 + 2 Racine de deux) pour une arête de longueur 2 comme le  W86

 

Références :

p.104-105 de Polyhedron Models

p.97 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 38

Retour au sommaire


W70

Petit Icosidodécaèdre Ditrigonal

Symétrie icosaédrique

C'est un charmant polyèdre facile à construire 72 pièces et assez spectaculaire avec ses 12 pentagrammes.

Ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre régulier

Les pentagrammes sont inscrits dans les pentagones du dodécaèdre

Les 20 triangles sont ceux d'un icosaèdre

 

autour de chaque sommet on rencontre alternativement pentagramme triangle comme dans un icosidodécaèdre et ceci 3 fois

d'où son nom de petit icosidodécaèdre ditrigonal

Photo 207.jpg

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Fig74.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

09_r.jpg

On le trouve également dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)
W70.jpg

Le W70
W70Face1.jpg

Le W70 vu d'une face triangulaire
W70Face2.jpg

le W70 vu d'une face en forme de pentagramme
W70Sommet.jpg

Le W70 vu d'un sommet

W70VertexFigure.jpg

Le W70 et sa figure de sommet
W70VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W70, pentagramme, triangle, pentagramme, triangle, pentagramme, triangle.

On le trouve également dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes arêtes qu'un W87 , W80 et que 5 cubes inscrits dans un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes faces triangulaires qu'un W87

Il possède les mêmes faces en forme de pentagramme qu'un W80

Faces : 20{3}+12{5/2}

W70pentagramme2.jpg

les pentagrammes sont vus en entier
W70triangle2.jpg

Par contre les triangles sont partiellement visibles

Sommets: 20

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 3 | 3 5/2

Rayon de la sphère circonscrite Racine de 3 pour une arête de longueur 2 comme le W80 et W87

Références :

p.106-107 de Polyhedron Models

p.100 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 39

Retour au sommaire


 

W71

Petit icosicosidodécaèdre

Symétrie icosaédrique

20 Triangles et 12 pentagrammes ce qui fait penser à un icosidodécaèdre et les 20 triangles externes font penser à un icosaèdre.

Photo 314.jpg

Un modèle assez facile à faire 92 pièces

Ce polyèdre est inscrit dans un Petit rhombicosidodécaèdre modifié, il a été oublié par Badoureau

Ce solide a été décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

par contre on le trouve dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

12_r.jpg

W71.jpg

Le W71
W71Face1.jpg

Le W71 vu d'une face triangulaire
W71Face2.jpg

Le W71 vu d'une face pentagonale
W71Sommet.jpg

Le W71 vu d'un sommet

 

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit  rhombicosidodécaèdre  irrégulier

Il possède les mêmes sommets que le W104 mais pas le même rayon circonscrit.

Il possède les mêmes sommets que le W82 et le W90 avec le même rayon circonscrit

Il possède les mêmes arêtes que le W82 et le W90

Il possède les mêmes faces triangulaires et en forme de pentagrammes que le W82

Il possède les mêmes faces hexagonales que le W90

Faces : 20{3}+20{6}+12{5/2}

W71pentagramme2.jpg

Les pentagrammes sont vus en entier
W71triangle2.jpg

ainsi que les triangles
W71hexagone2.jpg

alors que les hexagones sont partiellement vus   

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3  5/2 |  3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17+3 Racine(5)/2) pour une arête de longueur  2

Références :

p.108-109 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 40

Retour au sommaire


W72

Petit dodécicosidodécadre

Symétrie icosaédrique

20 triangles et 12 pentagones comme un icosidodécaèdre

et 12 décagones dans les plans d'un dodécaèdre

162 pièces donc un polyèdre non trivial pour un résultat trop proche d'un petit rhombicosidodécaèdre

Photo 358.jpg

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Fig130.jpg

Il semble qu'il ne soit pas décrit par Brückner

 

 

 

 

W72.jpg

Un W72
W72Face1.jpg

Un W72 vu d'une face triangulaire
W72Face2.jpg

un W72 vu d'une face pentagonale
W72Sommet.jpg

le W72 vu d'un sommet
W72VertexFigure.jpg

Le W72 et sa figure de sommet
W72VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W72, pentagone en haut à droite, triangle en bas à droite et décagones qui se croisent

 

Quelques données sur ce polyèdre.

Ce polyèdre est inscrit dans un petit rhombicosidodécaèdre régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un petit  rhombicosidodécaèdre régulier, qu'un W74 avec le même rayon circonscrit

Il possède les mêmes sommets qu'un petit  rhombicosidodécaèdre régulier, qu'un W97 avec un rayon circoncrit différent

Il possède les mêmes arêtes qu'un petit rhombicosidodécaèdre et un W74

Il possède les mêmes faces triangulaires et pentagonales qu'un petit  rhombicosidodécaèdre

Il possède les même faces décagonales qu'un W74

Faces : 20{3}+12{10}+12{5/2}

W72triangle2.jpg

Les triangles sont vus en entier
W72pentagone2.jpg

ainsi que les pentagones
W72decagone2.jpg

Les décagones sont coupés et vus de dessus en jaune ou dessous en orange (quoique le dessus et le dessous n'aient pas beaucoup de sens, sans dessus-dessous une allusion à Badoureau! )

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3/2  5 |  5

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (11+4Racine(5)) pour une arête de longueur  2 comme le W74

 

p.110-111 de Polyhedron Models

p.97de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 42

Retour au sommaire


 

W73

Dodécadodécaèdre

Symétrie icosaédrique

12 pentagones donc un dodécaèdre et 12 étoiles dans les plans des pentagones d'un dodécaèdre

Photo 086.jpg

Ce polyèdre est facile à construire 72 pièces et étonnant par sa régularité, sa simplicité, les creux constitués de losanges font un effet d'optique et semblent aller vers l'avant 

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Fig117.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on le trouve dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

09_r.jpg

W73.jpg

un W73
W73Face1.jpg

Un W73 vu d'un pentagtamme
W73Sommet.jpg

Un W73 vu d'un sommet

W73VertexFigure.jpg

Le W73 et sa figure de sommet
W73VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W73 aaltenance de pentagones et pentagrammes, figure de sommet quaractéristique d'un polyèdre quasi régulier, d'ailleurs ce polyèdre possède des hexagones équatoriaux

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre

il possède les mêmes sommets qu'un icosidodécaèdre, W100 et W102

Il possède les mêmes arêtes qu'un W100, W102

Il possède les mêmes faces en forme de pentagramme qu'un W100

Il possède les mêmes faces pentagonales qu'un W102

Faces : 12{5}+12{5/2}

W73pentagramme2.jpg

Les pentagrammes sont vus en entiers
W73pentagone2.jpg

alors que les pentagones sont coupés

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 2 |  5/2 5

Rayon de la sphère circonscrite 2 pour une arête de longueur  2 comme le W100 et le W102

p.112 de Polyhedron Models

p.103 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

p.123 de Mathematical Models, Cundy Rollett, Tarquin

p.101 de Regular Polytopes, H.M.S. Coxeter, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 45


 

Retour au sommaire

W74

Symétrie icosaédrique

Petit rhombidodécaèdre

12 décagones dans les plans d'un dodécaèdre plus 30 carrés supplémentaires (des rhombes suivant l'expression de Kepler)

162 pièces donc un polyèdre non trivial ! Des morceaux ne tiennent que par des arêtes donc modèle difficile pour un résultat trop proche d'un petit rhombicosidodécaèdre

Photo 357.jpg

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Fig131.jpg

on le trouve dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

12_l.jpg

W74.jpg

un W74
W74Face1.jpg

un W74 vu d'une face carrée
W74Face2.jpg

Un W74 vu d'une face décagonale
W74Sommet.jpg

un W74 vu d'un sommet
W74VertexFigure.jpg

Un W74 et sa figure de sommet
W74VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W74 seule, carré, décagones, carré décagones, les décagones sont croisés

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit  rhombicosidodécaèdre  régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un petit  rhombicosidodécaèdre régulier, un W72 et un W97

Il possède les mêmes arêtes qu'un petit  rhombicosidodécaèdre et un W72

il possède les mêmes faces carrées qu'un petit  rhombicosidodécaèdre

il possède les mêmes faces décagonales qu'un W72

Faces : 30{4}+12{10}

W74carre2.jpg

Les carrés sont vus en entier
W74decagone2.jpg

alors que les décagones sont coupés et vus tantôt dessus en jaune et dessous en orange

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 2  5 (3/2 5/2)|  5

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (11+4Racine(5)) pour une arête de longueur  2 comme le W72

p.113 de Polyhedron Models

p.97de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 46

Retour au sommaire


W75

Grand dodécaèdre tronqué

Symétrie icosaédrique

Photo 315.jpg

C'est une version tronquée du grand dodécaèdre ci-dessous

Photo 255.jpg

72 pièces assez facile à construire mais pas très spectaculaire !

Ce polyèdre a été oublié par Albert Badoureau il est inscrit dans un icosaèdre tronqué non régulier

Il est curieux de constater que Badoureau n'a pas travaillé à partir des solides de Kepler-Poinsot

Ce solide a été décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on le trouve dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

09_l.jpg

W75.jpg

un W75
W75Face1.jpg

un w75 vu d'un pentagramme
W75Sommet.jpg

Un W75 vu d'un sommet

W75VertexFigure.jpg

Le W75 et sa figure de sommet
W75VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W75 deux décagones les grands côtés et un pentagramme le petit côté.

 

Ce polyèdre a été oublié par Albert Badoureau il est inscrit dans un icosaèdre tronqué non régulier

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosaèdre tronqué  irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W105, W99, W109 de rayon circonscrit différent

 

Faces : 12{10}+12{5/2}

W75pentagramme2.jpg

Les pentagrammes sont vus en entier
W75decagone1.jpg

Alors que les décagonnes sont coupés

Sommets: 60

Arêtes : 90

Symbole de Wythoff 2  5/2 |  5

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17+5Racine(5))/2) pour une arête de longueur  2

p.115 de Polyhedron Models

p.102 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 47

Retour au sommaire


W76

 Rhombidodécadodécaèdre

Symétrie icosaédrique

12 pentagones comme un dodécaèdre, 12 pentagrammes dodéca et 30 carrés (les rhombes chers à Kepler)

 

Le premier polyèdre un peu complexe que j'ai construit, il m'a fallu deux mois pour le finir : 312 pièces la difficulté provient de la différence de taille des pièces et qu'il faut aligner 3 morceaux aussi bien pour les carrés que pour les pentagones, mais au final un superbe modèle !

Photo 205.jpg

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

son dessin est assez partiel mais même pour un as de la géométrie descriptive comme l'était Albert Badoureau  un dessin complet n'est pas une tâche aisée

Fig139.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on le trouve dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

12_r.jpg

W76.jpg

Un W76
W76Face1.jpg

Un W76 vu d'une face carrée
W76Face2.jpg

un W76 vu d'une face pentagonale
W76Sommet.jpg

Un W76 vu d'un sommet

 

W76VertexFigure.jpg

Le W76 et sa figure de sommet
W76VertexFigureAlone.jpg

la figure de sommet du W76

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosaèdre tronqué  irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W83 et qu'un W96

Il possède les mêmes arêtes qu'un W83, W96

Il possède les mêmes faces pentagonales et en forme de pentagramme qu'un W83

Il possède les mêmes faces carrées qu'un W96

Faces : 30{4}+12{5}+12{5/2}

W76pentagramme2.jpg

les pentagrammes sont vus en entier
W76carre1.jpg

alors que les carrés sont coupés
W76pentagone2.jpg

les pentagones aussi

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 5/2  5 |  2

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (7) pour une arête de longueur  2 comme pour le W83 et le  W96

p.116-117 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 48

Retour au sommaire


W77

 Grand cubicuboctaèdre

symétrie octaédrique

8 triangles et 6 carrés comme un cuboctaèdre et 6 étoiles à 8 branches dans les plans d'un cube

Photo 104.jpg

Un modèle très facile à construire 62 pièces et que moi je trouve très sympa ! j'avais fait une maquette en papier, un de mes premiers polyèdres uniformes.

Remarquez que les modèles de la symétrie octaédrique comportent moins de pièces.

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

son dessin comporte des erreurs même un as de la géométrie descriptive comme Albert Badoureau peut se tromper, ne soyez pas moqueurs car Badoureau était un génie.

Fig91.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

09_l.jpg




W77.jpg

un W77
W77Face1.jpg

Un W77 vu d'une face d'étoile
W77Face2.jpg

Un W77 vu d'un triangle
W77Sommet.jpg

Un W77 vu d'un sommet
W77VertexFigure.jpg

Un W77 et sa figure de sommet
W77VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W77 seule

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un cube tronqué

Il possède les mêmes sommets qu'un cube tronqué, un W103 et un W85

Il possède les mêmes arêtes qu'un W85 et un W103

Il possède les mêmes faces carrées et triangulaires qu'un W103

Il possède les mêmes faces en forme d'étoile à 8 branches qu'un W85

Faces : 8{3}+6{4}+6{8/3}

W77etoile2.jpg

Les étoiles à 8 branches sont entières
W77carre2.jpg

Alors que les carrés sont coupés
W77triangle2.jpg

Ainsi que les triangles

Sommets: 24

Arêtes : 48

Symbole de Wythoff 3  4 |  4/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5-2Racine(2)) pour une arête de longueur 2 comme le W103 et le W85

p.118-119 de Polyhedron Models

p.108 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 50

Retour au sommaire


 

W78

CuboHémiOctaèdre

des hexagones équatoriaux par moitié d'où hémiOctaèdre et 6 faces carrées d'où le cubo

Symétrie octaédrique

 

Photo 169.jpg

A priori avec 30 pièces ce polyèdre ne devrait pas être trop difficile à construire, mais avec les hexagones équatoriaux il est plus difficile qu'il n'y parait  pour un résultat très proche du cuboctaèdre

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Fig96.jpg

W78.jpg

Un W78
W78Face1.jpg

un W78 vu d'une face carrée
W78Face2.jpg

un W78 vu d'une face hexagonale
W78Sommet.jpg

Un W78 vu d'un sommet
W78VertexFigure.jpg

Un W78 et sa figure de sommet
W78VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W78 seule

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un cuboctaèdre

Possède les mêmes sommets qu'un cuboctaèdre  et qu'un W68

Possède les mêmes arêtes qu'un cuboctaèdre

Possède les mêmes faces carrées qu'un cuboctaèdre

Possède les mêmes faces hexagonales qu'un W68

Faces : 4{6}+6{4}

https://static.blog4ever.com/2008/12/270085/artfichier_270085_5083629_201508294439500.jpg

Les hexagones équatoriaux sont vus tantôt dessus en jaune, tantôt dessous en orange

W78carre2.jpg

Les carrés sont vus en entier

 

Sommets: 12

Arêtes : 24

Symbole de Wythoff 4/3 4 | 3

Rayon de la sphère circonscrite 2 pour une arête de longueur 2 comme le W68

 

Références :

p.120 de Polyhedron Models

p.96 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 51

 

Retour au sommaire


 

W79

W79 Cubi Cuboctaèdre tronqué

Symétrie octaédrique

Photo 133.jpg

Un polyèdre assez facile à réaliser, 62 pièces et assez original

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881

Fig137.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

11_l.jpg

W79.jpg

Un W79
W79Face1.jpg

Un W79 vu d'une face octogonale
W79Face2.jpg

Un W79 vu d'une face hexagonale
W79Sommet.jpg

un W79 vu d'un sommet
W79VertexFigure.jpg

Un W79 et sa figure de sommet
W79VertexFigureAlone.jpg

la figure de sommet du  W79 seule

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un grand rhombi cuboctaèdre irrégulier

Faces : 8{6}+6{8}+6{8/3}

W77etoile2.jpg

Les étoiles à 8 branches sont vus en entier

W79octogone1.jpg

Alors que les octogones sont coupés
W79hexagone1.jpg

ansi que les hexagones

Sommets: 48

Arêtes : 72

Symbole de Wythoff 3 4/3 4 |

Rayon de la sphère circonscrite racine(7) pour une arête de longueur 2

 

Références :

p.121-122 de Polyhedron Models

p.105 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 52

Retour au sommaire


 

W80

Ditrigonal Dodécadodécaèdre

symétrie icosaèdrique

12 pentagones comme un dodécaèdre, 12 pentagrammes 3 alternances de pentagrammes pentagones autour de chaque sommet d'où ditrigonal

Photo 350.jpg

Un modèle assez difficile, 192 pièces, il faut faire les pentagrammes les plus grands possibles, pour pouvoir construire les cavités très profondes bref une grand complexité assez invisible!

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881. Sur son schéma il a juste indiqué comment construire le solide.

  Fig76.jpg

W80.jpg

Un W80
W80Face1.jpg

Un W80 vu d'une face pentagonale
W80Sommet.jpg

Un W80 vu d'un sommet

W80VertexFigure.jpg

Le W80 et sa figure de sommet
W80VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W80

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes arêtes qu'un W87, W70 et que 5 cubes inscrits dans un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes faces pentagonales qu'un W87

Il possède les mêmes faces en forme de pentagramme qu'un W70

Faces : 12{5}+12{5/2}

W76pentagramme2.jpg

les pentagrammes sont vus en entier

W80pentagone2.jpg

Les pentagones sont coupés et vus dessus en jaune et dessous en oranges

Sommets: 20

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 3 |  5/2 5

Rayon de la sphère circonscrite Racine de 3 pour une arête de longueur 2 comme le W70 et le W87

Références :

p.123-124 de Polyhedron Models

p.101 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 53

Retour au sommaire


 

W81

Grand dodecicosidodecaèdre ditrigonal

Symétrie icosaédrique

20 triangles et 12 pentagones comme dans un icosidodécaèdre, dodéci 12 étoiles à 10 branches

Photo 308.jpg

Modèle assez facile à construire, 152 pièces, des grandes étoiles à 10 branches, qu'il vaut mieux renforcer, les pentagones sont parallèles aux étoiles, ce modèle n'est pas trop spectaculaire, ressemble trop à un dodécaèdre.

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig109.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

12_r.jpg

W81.jpg

Un W81
W81Face1.jpg

Un W81 vu d'une face triangulaire
W81Face2.jpg

Un W81 vu d'une face en forme d'étoile à 10 branches
W81Sommet.jpg

Un  W81 vu d'un sommet

W81VertexFigure.jpg

Le W80 et sa figure de sommet
W81VertexFigureAlone.jpg

la figure de sommet du W80, le grand côté pentagone, en face du petit côté étoile, relié par 2 triangles

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre tronqué régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un dodécaèdre tronqué régulier, qu'un  W88 et qu'un W101

Il possède les mêmes arêtes qu'un W88, W101

Il possède les mêmes faces pentagonales et triangulaires qu'un W88

Il possède les mêmes faces en forme d'étoiles à 10 branches qu'un W101

Faces : 12{5}+12{10/3}+20{3}

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3 5 |  5/3

W81etoile1.jpg

les étoiles à 10 branches sont vus en entiers
W81triangle2.jpg

Alors que les triangles sont coupés
W81pentagone2.jpg

Ainsi que les pentagones

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17-3 racine(5))/2)  pour une arête de longueur 2 comme le  W88 et le W101

Références :

p.125 de Polyhedron Models

p.109 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 54

Retour au sommaire


 

W82

Petit dodecicosidodécaèdre ditrigonal

12 décagones et 30 triangles comme un icosidodécaèdre et 12 pentagramme dodec...

 

Symétrie icosaédrique

Ce polyèdre avait échappé à l'analyse de Badoureau, Bruckner.... Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450

Photo 319.jpg

212 pièces, la petite difficulté réside dans les cavités sous les pentagrammes. Les décagrammes sont vus dessous puis dessus, on peut simplifier le montage en emboitant ces morceaux de décagone.

W82.jpg

un W82
W82Face1.jpg

Un W82 vu d'une face triangulaire
W82Face2.jpg

Un W82 vu d'une face pentagonale

 

W82Sommet.jpg

un W82 vu d'un sommet

W82VertexFigure.jpg

le W82 et sa figure de sommet
W82VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W82 un triangle en bas à gauche, un pentagramme en haut à droite et deux décagones qui se croisent.

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit  rhombicosidodécaèdre  irrégulier

Il possède les mêmes sommets que le W104 mais pas le même rayopn circonscrit 

Il possède les mêmes sommets que le  W71 et le W90 avec le même rayopn circonscrit

Il possède les mêmes arêtes que le W71 et le W90

Il possède les mêmes faces triangulaires et en forme de pentagrammes que le W71

Il possède les mêmes faces décagonales que le W90

Faces : 20{3}+12{10}+12{5/2}

W76pentagramme2.jpg

Les pentagrammes sont vus en entier

W72triangle2.jpg

ainsi que les triangles

W82decagone1.jpg

alors que les décagones sont coupés et vus de dessus en jaune et de dessous en orange

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3  5/3 |  5

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17+3 Racine(5)/2) pour une arête de longueur  2 comme  le  W71 et le W90

Références :

p.126-127 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 55

Retour au sommaire


 

W83

Icosidodécadodécaèdre

Symétrie icosaédrique

12 pentagones comme un dodécaèdre, 12 pentagrammes dodéca, 20 hexagones icosi

Photo 320.jpg

Ce modèle est assez spectaculaire avec ses 432 pièces. on peut tricher avec les hexagones qui sont vus dessus dessous, en emboîtant les pièces des hexagones on diminue le nombre de pièces à 186 en plus ce modèle est beaucoup plus facile à monter qu'il n'y parait.

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig140.jpg

W83.jpg

un W83
W83Face1.jpg

Un W83 vu d'une face hexagonale
W83Face2.jpg

un W83 vu d'une face pentagonale
W83Sommet.jpg

un W83 vu d'un sommet

W83VertexFigure.jpg

Le W83 et sa figure de sommet
W83VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W83 un pentagramme en haut à droite un pentagone en bas à gauche et 2 hexagones en croix

 

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosaèdre tronqué  irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W76 et qu'un W96

Il possède les mêmes arêtes qu'un W76  et qu'un W96

Il possède les mêmes faces pentagonales et en forme de pentagramme qu'un W76

Il possède les mêmes faces hexagonales qu'un W96

Faces : 20{6}+12{5}+12{5/2}

W76pentagramme2.jpg

Les pentagrammes sont vus en entier

W83hexagone1.jpg

Mais pas les hexagones qui sont coupés et vus dessus en jaune et dessous en orange
W83pentagone2.jpg

les pentagones sont également coupés

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 5/3  5 |  3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (7) pour une arête de longueur  2 comme le W76 et le W96

p.128-129 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 56

Retour au sommaire


W84

Icosi icosidodécaèdre tronqué

symétrie icosaédrique

Photo 309.jpg

Un modèle facile à construire 152 pièces

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig148.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

09_r.jpg

W84.jpg

un W84
W84Face1.jpg

un W84 vu d'une face hexagonale
W84Face2.jpg

un W84 vu d'une face en forme d'étoile à 10 branches
W84Sommet.jpg

Un W84 vu d'un sommet

W84VertexFigure.jpg

Le W84 et sa figure de sommet
W84VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W84 le grand côté le décagone, le petit l'étoile et le moyen l'hexagone

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un grand rhombicosidodécaèdre  irrégulier

Faces : 20{6}+12{10}+12{10/3}

W81etoile1.jpg

les étoiles à 10 branches sont vus en entier

W84hexagone2.jpg

alors que les hexagones sont coupés
W84decagone2.jpg

ainsi que les décagones

Sommets: 120

Arêtes : 180

Symbole de Wythoff 3 5/3 5 |

Rayon de la sphère circonscrite 4 pour une arête de longueur  2

p.130-131 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 57

Retour au sommaire


 

W85

QuasiRhombiCubOctaèdre

Symétrie octaédrique

8 triangles et 12+6 carrés comme un petit RhombiCubOctaèdre

Photo 109.jpg

Un modèle très spectaculaire et très difficile à réaliser avec 480 pièces, des cavités très profondes de nombreuses pièces à aligner, il me reste à le refaire en couleurs !

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig93.jpg

 

Une petite photo de famille

Photo 113.jpg

 

W85.jpg

Un W85
W85Face1.jpg

Un W85 vu d'une face carrée
W85Face2.jpg

Un W85 vu d'une autre face carrée
W85Face3.jpg

Un W85 vu d'une face triangulaire
W85Sommet.jpg

Un W85 vu d'un sommet
W85VertexFigure.jpg

Un W85 et sa figure de sommet
  

Un W85 et sa figure de sommet
W85VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W85 seule

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un cube tronqué

Il possède les mêmes sommets qu'un cube tronqué, le  W103 et le W77

Il possède les mêmes arêtes qu'un W77, W103

Il possède les mêmes faces carrées et triangulaires qu'un W77

Il possède les mêmes faces carrées qu'un W103

Faces : 8{3}+6{4}+12{4}

W85triangle2.jpg

Les triangles sont coupés
W85carre2.jpg

les 6 carrés aussi
W85rhombe2.jpg

ainsi que le 12 carrés qui sont vus tantôt dessus en jaune, tantôt dessous en orange, remarquez que les deux sortes de carrés ne jouent pas le même rôle

Sommets: 24

Arêtes : 48

Symbole de Wythoff 3/2  4 |  2

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5-2Racine(2)) pour une arête de longueur  2 comme le  W103 et le W77

p.132-133 de Polyhedron Models

p.99 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 59

Retour au sommaire


 

W86

Petit Rhombihexaèdre

Symétrie octaédrique

6 octogones dans les plans d'un cube d'où hexaèdre et 12 carrés donc un rhombi

Photo 171.jpg

66 pièces donc facile à faire mais très proche du rhombicuoctaèdre

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig105.jpg

 

Une petite photo de famille

Photo 175.jpg

 

W86.jpg

un W86
W86Face1.jpg

un W86 vu d'une face octogonale
W86Face2.jpg

un W86 vu d'une face carrée
W86Sommet.jpg

un W86 vu d'un sommet
W86VertexFigure.jpg

un W86 et sa figure de sommet
W86VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W86

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit rhombi-cuboctaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un petit rhombi-cuboctaèdre, qu'un W69 et qu'un W92.

Il possède les mêmes arêtes qu'un petit rhombi-cuboctaèdre

Il possède les mêmes faces carrées qu'un petit rhombi-cuboctaèdre

Il possède les mêmes faces octogonales qu'un W69

Faces : 12{4}+6{8}

W78carre2.jpg

Les carrés sont vus en entier

W86octogone2.jpg

Alors que les octogones sont vus tantôt dessus en jaune et tantôt dessous en orange

 

Sommets: 24

Arêtes : 48

Symbole de Wythoff 2 4 | (3/2 4/2)

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5 + 2 Racine de deux) pour une arête de longueur 2 comme le W69 et le W92.

 

Références :

p.134 de Polyhedron Models

p.97 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 60

Retour au sommaire


W87

  Grand icosidodécaèdre ditrigonal

Symétrie icosaédrique

12 pentagones et 20 triangles comme un icosidodécaèdre

DSCF0080.JPG

Modèle fini le 28 octobre 2014, très spectaculaire, très coloré mais très difficile à réaliser, beaucoup de pièces, des creux très profonds, de très nombreux alignements à réaliser pour de beaux carrés....

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig75.jpg

 

W87.jpg

Un W87
W87Face1.jpg

Un W87 vu d'une face triangulaire
W87Face2.jpg

un W87 vu d'une face pentagonale
W87Sommet.jpg

Un W87 vu d'un sommet
W87VertexFigure.jpg

Un W87 et sa figure de sommet
W87VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W87

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un dodécaèdre régulier

Il possède les mêmes arêtes qu'un W70, W80 et que 5 cubes inscrits dans un dodécaèdre régulier

Il possède les faces triangulaires qu'un W70

IFaces : 20{3}+12{5}

W87triangle2.jpg

les triangles sont coupés,
W87pentagone2.jpg

les pentagones aussi.

Sommets: 20

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 3/2 | 3 5

Rayon de la sphère circonscrite Racine de 3 pour une arête de longueur 2 comme le W70 et le W80

Références :

p.135 de Polyhedron Models

p.98 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 61

Retour au sommaire


 

W88

Grand icosicosidodécaèdre

20 triangles et 12 pentagones comme un icosidodécaèdre et 20 hexagones icosi

Incroyable un W88 réalisé sur une imprimante 3D, j'ai réalisé le fichier Openscad et Olivier du fablab de Ris-Orangis Planète-Science l'a imprimé

 

W88_3D2.jpgW88_3D1.jpg

C'est le premier polyèdre uniforme de la liste que je n'ai pas réalisé en papier! Il faut dire qu'avec ses 1232 pièces ce modèle est un défi pour les constructeurs de polyèdres! Mais pas pour l'impression 3D

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig111.jpg

W88_1.jpg

Un W88
W88Face1.jpg

Un W88 vu d'une face triangle
W88Face2.jpg

un W88 vu d'une face pentagonale
W88Sommet.jpg

Un W88 vu d'un sommet
W88VertexFigure.jpg

Un W88 et sa figure de sommet
W88VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W88

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre tronqué régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un dodécaèdre tronqué régulier, W81, W101

Il possède les mêmes arêtes qu'un W81, W101

Il possède les mêmes faces pentagonales et triangulaires qu'un W81

Faces : 12{5}+20{6}+20{3}

W88triangle2.jpg

les triangles sont très découpées,
W88pentagone2.jpg

ainsi que les pentagones,
W88hexagone2.jpg

et que les hexagones tantôt vus dessus en jaune et dessous en orange.

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3 5 |  5/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17-3 racine(5))/2)  pour une arête de longueur 2

Références :

p.137-139 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 62

Retour au sommaire


W89

 Petit icosihémidodécaèdre

Symétrie icosaédrique

20 triangles icosi Hémi la moitié des 12 décagones Dodéca

Photo 342.jpg

80 pièces donc en apparence ce modèle est facile à construire en fait les 6 décagones se pressant au centre rendent ce modèle délicat à réaliser

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig116.jpg

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

07_r.jpg

Une photo de famille

Photo 346.jpg

 

W89.jpg

un W89
W89Face1.jpg

un W89 vu d'une face triangle
W89Face2.jpg

un W89 vu d'une face hexagonale
W89Sommet.jpg

un W89 vu d'un sommet
W89VertexFigure.jpg

un W89 et sa figure de sommet
W89VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W89

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un icosidodécaèdre, W91

Il possède les mêmes arêtes qu'un W91, icosidodécaèdre

Il possède les mêmes faces décagonales qu'un W91

Faces : 6{10}+20{3}

W89triangle2.jpg

les triangles sont vus en entier,
W89decagone2.jpg

alors que les décagones équatoriaux sont vus, aussi en entier, mais tantôt dessus en jaune, tantôt dessous en orange.

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 3/2 3 |  5

Rayon de la sphère circonscrite 1+ Racine(5)  pour une arête de longueur 2

Références :

 p.140 de Polyhedron Models

p.96 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 63

Retour au sommaire


 

W90

Petit dodécicosaèdre

Symétrie icosaédrique

12 décagones dodéc 20 hexagones icosaèdre

DSCF0103.JPGPhoto 319.jpg

Un modèle fini le 12/11/2014, très difficile 380 pièces, je l'ai fait assez gros mais pas encore assez car les pentagrammes étaient encore trop petits

Ce polyèdre avait échappé à l'analyse de Badoureau, Bruckner....comme le W82 que j'ai remis à droite.  Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450

 

W90.jpg

Un W90
W90Face1.jpg

Un W90 vu d'une face hexagonale
W90Face2.jpg

Un W90 vu d'une face décagonale
W90Sommet.jpg

Un W90 vu d'un sommet

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit  rhombicosidodécaèdre  irrégulier

Il possède les mêmes sommets que le W104 mais pas avec le même rayon circonscrit

Il possède les mêmes sommets que le W71 et le  W82 avec le même rayon circonscrit

Il possède les mêmes arêtes que le W71 et le  W82

Il possède les mêmes faces hexagonales que le W82

Faces : 20{6}+12{10}

W90hexagone2.jpg

Les hexagones sont coupés,
W90decagone2.jpg

ainsi que les décagones qui sont vus tantôt dessus en jaune et tantôt dessous en orange. ( Attention le schéma du décagone est partiellement faux dans Polyhedron Models )

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3  5 |  (3/2 5/4)

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17+3 Racine(5)/2) pour une arête de longueur  2 comme le W71 et le  W82

 p.141-142 de Polyhedron Models Attention le schéma du décagone est partiellement faux

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 64

Retour au sommaire


 

W91

Petit dodécaHémiDodécaèdre

Symétrie icosaédrique

12 pentagones dodéca Hémi la moitié de 12 Décagones HémiDodécaèdre

 

Photo 345.jpg

72 pièces mêmes remarques que pour le W89

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig115.jpg

 

 

W91.jpg

Un W91
W91Face1.jpg

Un W91 vu d'une face pentagonale
W91Sommet.jpg

Un W91 vu d'un sommet
W91VertexFigure.jpg

Un W91 et sa figure de sommet
W91VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W91

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un icosidodécaèdre, W89

Il possède les mêmes arêtes qu'un W89, icosidodécaèdre

Il possède les mêmes faces décagonales qu'un W89

Faces : 6{10}+20{3}

W72pentagone2.jpg

les pentagones sont vus en entier,

W89decagone2.jpg

alors que les décagones équatoriaux sont vus, aussi en entier, mais tantôt dessus en jaune, tantôt dessous en orange.

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 3/2 3 |  5

Rayon de la sphère circonscrite 1+ Racine(5)  pour une arête de longueur 2

Références :

 p.143 de Polyhedron Models

p.96 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 65

Retour au sommaire


W92

W92 Quasitruncated hexahedron

Symétrie octaédrique

Photo 129.jpg

Un charmant polyèdre, très facile à faire, 54 pièces.

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881. Notez que son dessin est un peu faux.

Fig106.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

 

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900) Notez qu'il n'a pas non plus les bonnes proportions

08_l.jpg

W92.jpg

Un W92
W92Face1.jpg

Un W92 vu d'une face en étoile à 8 branches
W92Face2.jpg

Un W92 vu d'une face triangulaire
W92Sommet.jpg

Un W92 vu d'un sommet
W92VertexFigure.jpg

Un W92 et sa figure de sommet
W92VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W92

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit rhombi-cuboctaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un petit rhombi-cuboctaèdre, qu'un et qu'un W69.

Faces : 8{3}+6{8/3}

W92triangle2.jpg

les triangles sont coupés,
W92etoile2.jpg

ainsi que les étoiles à 8 branches.

Sommets: 24

Arêtes : 48

Symbole de Wythoff 2 3 | 4/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (7 + 4 Racine de deux) pour une arête de longueur 2

 

Références :

p.144 de Polyhedron Models

p.110 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 66

Retour au sommaire


W93

QuasiCuboctaèdreTronqué

Symétrie octaédrique

Photo 352.jpg

Ce n'est pas que ce polyèdre soit compliqué 146 pièces mais sa structure interne complexe en fait un modèle pas très simple à construire pour un résultat final pas très spectaculaire.

 

 Pour vous en convaincre quelques étapes de montage:

Photo 003.jpg
Photo 005.jpg
Photo 011.jpg
Photo 020.jpg
Photo 031.jpg

Photo 043.jpg
Photo 045.jpg
Photo 067.jpg
Photo 352.jpg

 

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881. Notez que son dessin est un peu incomplet.

Fig136.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

08_r.jpg

W93.jpg

Un W93
W93Face1.jpg

Un W93 vu d'une face en forme d'étoile à 8 branches
W93Face2.jpg

Un W93 vu d'une face carrée
W93Face3.jpg

Un W93 vu d'une face hexagonale
W93Sommet.jpg

Un W93 vu d'un sommet
W93VertexFigure.jpg

Un W93 et sa figure de sommet
W93VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W93

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un grandt rhombi-cuboctaèdre non régulier

Faces : 8{6}+12{4}+6{8/3}

W77etoile2.jpg

les étoiles à 8 branches sont vus en entier

W93rhombe1.jpg

alors que les carrés sont coupés
W93hexagone2.jpg

et les hexagones sont vus dessus en jaune et dessous en orange

Sommets: 48

Arêtes : 72

Symbole de Wythoff 2 3 4/3 |

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (13 + 6 Racine de deux) pour une arête de longueur 2

 

Références :

p.145 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 67

Retour au sommaire


 

W94

  le grand icosidodécaèdre

20 triangles et 12 pentagrammes

Symétrie Icosaédrique

Photo 084.jpg

Un modèle génial, pas trop compliqué 132 pièces et du plus bel effet avec ses étoiles à 10 branches équatoriales

Ce modèle est abondamment décrit dans la littérature.

C'est le seul polyèdre uniforme non convexe dont j'ai construit le dual qui lui est aussi abondamment décrit dans la littérature.

C'est même la couverture de Regular Polytopes, H.M.S. Coxeter, Dover

Photo 211.jpg

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881. Notez que son dessin est un peu incomplet.

Fig120.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

11_l.jpg

W94.jpg

Un W94
W94Face1.jpg

Un W94 vu d'une face triangulaire
W94Face2.jpg

Un W94 vu d'une face en forme de pentagramme
W94Sommet.jpg

un W94 vue d'un sommet
W94VertexFigure.jpg

Un W94 et sa figure de sommet
W94VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W94

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un icosidodécaèdre, un W106, W107

Il possède les mêmes arêtes qu'un W106, W107

Il possède les mêmes pentagrammes qu'un W107

Il possède les mêmes triangles qu'un W106

Faces : 20{3}+12{5/2}

W94triangle2.jpg

Les triangles sont coupés
W94pentagramme2.jpg

ainsi que les pentagrammes

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 2 | 3 5/2

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5)-1 pour une arête de longueur 2.

 

Références :

p.147 de Polyhedron Models

p.115-117 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 70

p.124 de Mathematical Models, Cundy Rollett, Tarquin

p.101 de Regular Polytopes, H.M.S. Coxeter, Dover

 

Le Dual

p.103 de Regular Polytopes, H.M.S. Coxeter, Dover

p.126 de Mathematical Models, Cundy Rollett, Tarquin

p.117 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Retour au sommaire


 

W95

Grand icosaèdre tronqué

Symétrie Icosaédrique 

DSCF0077.JPG

modèle terminé le 01/11/2014, 192 pièces mais je l'ai construit beaucoup trop petit. J'ai longtemps été intrigué par les faux sommets qui forment des petites rosettes.

Ce solide a été décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

 

W95.jpg

Un W95
W95Face1.jpg

Un W95 vu d'une face hexagonale
W95Face2.jpg

Un W95 vu d'une face en forme de pentagramme
W95Sommet.jpg

un W95 vu d'un sommet
W95VertexFigure.jpg

Un W95 et sa figure de sommet
W95VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W95

ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre tronqué irrégulier ou un Petit rhombicuboctaèdre irrégulier

Faces : 20{6}+12{5/2}

W70pentagramme2.jpg

les pentagrammes sont vus en entier

W95hexagone2.jpg

alors que les hexagones sont coupés

 

Sommets: 60

Arêtes : 90

Symbole de Wythoff 2 5/2| 3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((29-9Racine(5))/2)-pour une arête de longueur 2

 

Références :

p.148 de Polyhedron Models

p.104 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 71

Retour au sommaire


 

W96

Rombicosaèdre

Symétrie Icosaédrique

20 hexagones donc icosaèdre plus 30 carrés désigné par le terme Rhombi chez Kepler

Je n'ai pas construit ce modèle (Enfin pas encore!)

W96.jpg

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881. Notez que son dessin est un peu incomplet.

Fig141.jpg

_1.jpg

Un W96
W96Face1.jpg

Un W96 vu d'une face hexagonale
W96Face2.jpg

Un W96 vu d'une face carrée
W96Sommet.jpg

Un W96 vu d'un sommet
W96VertexFigure.jpg

Un W96 et sa figure de sommet
W96VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W96

Quelques données sur ce polyèdres:

ce polyèdre est inscrit dans un icosaèdre tronqué  irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W83, W76

Il possède les mêmes arêtes qu'un W83, W76

Il possède les mêmes faces carrées qu'un W76

Il possède les mêmes faces hexagonales qu'un W83

Faces : 30{4}+20{6}

W96carre1.jpg

les carrés sont coupés
W96hexagone2.jpg

ainsi que les hexagones sont vus dessus en jaune et dessous en orange

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 2  3 |  (5/4 5/2)

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (7) pour une arête de longueur  2

p.149-150 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 72

Retour au sommaire


W97

Petit dodécaèdre étoilé quasi tronqué

Symétrie Icosaédrique 

Une troncature assez particulière du petit dodécaèdre étoilé (photo de droite)

Photo 327.jpgPhoto 263.jpg

132 pièces un polyèdre assez facile à réaliser
Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881. Notez la légère erreur de représentation des coupes pentagonales

Fig132.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

12_r.jpg

W97.jpg

Un W97
W97Face1.jpg

Un W97 vu d'une face en étoile à 10 branches
W97Sommet.jpg

Un W97 vu d'un sommet


W97VertexFigure.jpg

Un W97 et sa figure de sommet
W97VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W97

 

Quelques données sur ce polyèdre:

Ce polyèdre possède les mêmes sommets qu'un petit rhombicosidodécaèdre, W72

Faces : 12{5}+12{10/3}

W97pentagon1.jpg

les pentagones sont coupés
W97etoile1.jpg

ainsi que les étoiles à 10 branches

Sommets: 60

Arêtes : 90

Symbole de Wythoff 2  5 |  5/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17_5Racine(5))/2) pour une arête de longueur  2

p.151 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 74

p.111 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

 

Retour au sommaire


 

W98

Symétrie Icosaédrique

W98.jpg

Comme vous le voyez je n'ai pas encore réalisé ce polyèdre de 402 pièces

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig147.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900) sous une forme légèrement différente

07_r.jpg

W98_1.jpg

Un W98
W98Face1.jpg

Un W98 vu d'une face carrée
W98Face2.jpg

un W98 vu d'une face en forme d'étoile à 10 branches
W98Sommet.jpg

Un W98 vu d'un sommet
W98VertexFigure.jpg

Un W98 et sa figure de sommet
W98VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W98

 

Quelques données sur ce polyèdre:

 

Ce polyèdre est inscrit dans un grand rhombicosidodécaèdre irrégulier

Faces : 12{5}+12{5/2}

https://static.blog4ever.com/2008/12/270085/artfichier_270085_4997973_201507165249432.jpg

les étoiles à 10 branches sont vus en entier

W98carre2.jpg

alors que les carrés sont coupés
W98decagone1.jpg

comme les décagones vus dessus en jaune et dessous en orange

Sommets: 120

Arêtes : 180

Symbole de Wythoff 2  5/3 5| 

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (11) pour une arête de longueur  2

p.152-153 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 75

Retour au sommaire


 

W99

Grand dodecicododécaèdre

Symétrie Icosaédrique

12 pentagrammes Docec 20 triangles Icosi 12 étoiles à 10 branches Dodéca

Photo 099.jpg

Un polyèdre assez facile à construire 180 pièces et assez spectaculaire

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig143.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

12_r.jpg

 

W99.jpg

Un W99
W99Face1.jpg

Un W99 vu d'une face triangulaire
W99Face2.jpg

Un W99 vu d'une face en forme d'étoile à 10 branches
W99Sommet.jpg

Un W99 vu d'un sommet
W99VertexFigure.jpg

Un W99 et sa figure de sommet
W99VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W99

 

Quelques données sur ce polyèdre:

ce polyèdre est inscrit dans un icosaèdre tronqué irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W74, W99, W105

Il possède les mêmes arêtes que le W109 , W105

Il possède les mêmes faces en forme d'étoiles à 10 branches que le W109

Il possède les mêmes faces en forme de pentagrammes et de triangles que le W105

 

20{3}+12{5/2}+12{10/3}

W99etoile1.jpg

les étoiles à 10 branches sont coupés
W99pentagramme2.jpg

ainsi que les pentagrammes,
W99triangle2.jpg

et les triangles

Rayon de la sphère circonscrite Raine(11 - racine(5)) pour une arête de longueur 2

p.154 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 77

Retour au sommaire


 

W100

Petit Dodécahémicosaèdre

Symétrie Icosaédrique

12 pentagrammes dodéca et la moitié des 20 hexagones (ils sont équatoriaux) 

DSCF0121.JPGW100.jpg


Malgré son faible nombre de pièces 132 ce polyèdre est une galère à construire, un centre très encombré par les 10 hexagones équatoriaux, des morceaux qui tiennent par des arêtes en plus je l'ai fait trop petit.

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig119.jpg

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

12_l.jpg

W100_.jpg

Un W100
W100Face1.jpg

Un W100 vu d'une face hexagonale
W100Face2.jpg

Un W100 vu d'une face en forme de pentagramme
W100Sommet.jpg

Un W100 vu d'un sommet
W100VertexFigure.jpg

Un W100 et sa figure de sommet
W100VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet d'un W100

 

Quelques données sur ce polyèdre:

Ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un W73, W102

Il possède les mêmes arêtes qu'un W73, W102

Faces : 10{6}+12{5/2}

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 5/3 5/2 | 3

https://static.blog4ever.com/2008/12/270085/artfichier_270085_4989731_201507130710498.jpg

Les pentagrammes sont vus en entier

W100hexagone1.jpg

alors que les hexagones équatoriaux sont tantôt vus dessus en jaune, tantôt vus dessous en orange.

Rayon de la sphère circonscrite 2 pour une arête de longueur  2 comme le W73 et le W102

p.155 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 78

Retour au sommaire


W101

Grand dodecicosaèdre

Symétrie Icosaédrique

12 étoiles à 10 branches dodec 20 hexagones icosaèdre

W101.jpg

Je n'ai pas construit ce modèle de 362 pièces

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig110.jpg


W101-1.jpg
W101Face1.jpg

Un W101 vu d'une face hexagonale
W101Face2.jpg

Un W101 vu d'une face en forme d'étoile à 10 branches
W101Sommet.jpg

Un W101 vu d'un sommet
W101VertexFigure.jpg

Un W101 et sa figure de sommet

W100VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W101 seule


Quelques données sur ce polyèdre:

ce polyèdre est inscrit dans un dodécaèdre tronqué régulier

Il possède les mêmes sommets qu'un dodécaèdre tronqué régulier, W88, W811

Il possède les mêmes arêtes qu'un W88, W811

Il possède les mêmes faces hexagonales qu'un W88

Il possède les mêmes faces en forme d'étoiles à 10 branches qu'un W81

Faces : 20{6}+12{10/3}

https://static.blog4ever.com/2008/12/270085/artfichier_270085_4997973_201507165249432.jpg

les étoiles à 10 branches sont vus en entier,

W101hexagone2.jpg

alors que les hexagones sont coupés et vus tantôt dessus en jaune, tantôt dessous en orange.

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3 5 |  5/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((17-3 racine(5))/2)  pour une arête de longueur 2

Références :

p.156-157 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 79

 

Retour au sommaire


 

W102

Grand dodécaHémIcosaèdre

Symétrie Icosaédrique

12 pentagones Dodéca HémIcosaèdre La moitié des 20 Hexagones

DSCF0100.JPGW102.jpg

Modèle fini le 29 août 2014, 312 pièces, modèle assez difficile à réaliser car les cavités sont très profondes

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig118.jpg

 

W102_.jpg

un W102
W102Face1.jpg

un W102 vu d'une face hexagonale
W102Face2.jpg

un W102 vu d'une face pentagonale
W102Sommet.jpg

un W102 vu d'un sommet
W102VertexFigure.jpg

Un W102 et sa figure de sommet
W102VertexFigureAlone.jpg

la figure de sommet seule, les traits verticaux sur les pentagones et les traits croisés sur les hexagones

Ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un W73, W100

Il possède les mêmes arêtes qu'un W73, W100

Il possède les mêmes hexagones qu'un W100

Il possède les mêmes pentagones qu'un W73

Faces : 10{6}+12{5}

W102pentagone2.jpg

les pentagones sont coupés
W102hexagone2.jpg

les hexagones aussi, tantôt vus dessus en jaune ou dessous en orange

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 5/4 5 | 3

Rayon de la sphère circonscrite 2 pour une arête de longueur  2 comme le W73 et le W100

p.158 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 81

Retour au sommaire


 

W103

Le grand rhombiHexaèdre

Symétrie Octaédrique

12 carrés comme les rhombi et 6 étoiles à 8 branches 6 = hexa

Photo 106.jpgPhoto 107.jpg

Un polyèdre assez facile à construire avec ses 126 pièces, les cavités sont très profondes ce qui ajoute de la difficulté

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig92.jpg

W103.jpg

un W103
W103Face1.jpg

un W103 vu des étoiles à 8 branches
W103Face2.jpg

un W103 vu des carrés
W103Sommet.jpg

un W103 vu d'un sommet
W103VertexFigure.jpg

un W103 et sa figure de sommet
W103VertexFigureAlone.jpg

la figure de sommet seule du W103

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un cube tronqué

Il possède les mêmes sommets qu'un cube tronqué, W77, W85

Il possède les mêmes arêtes qu'un W85, W77

Il possède les mêmes faces carrés qu'un W85

Il possède les mêmes faces en forme d'étoile à 8 branches qu'un W77

Faces : 12{4}+6{8/3}

https://static.blog4ever.com/2008/12/270085/artfichier_270085_4997825_20150716432421.jpg

Les étoiles à 8 branches sont vus en entier

W103carre2.jpg

alors que les carrés sont coupés et vus dessus en jaune et dessous en orange

Sommets: 24

Arêtes : 48

Symbole de Wythoff 3  4 |  4/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5-2Racine(2)) pour une arête de longueur  2

p.159-160 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 82

Retour au sommaire


 

W104

Le grand dodécaèdre étoilé quasitronqué

Symétrie Icosaédrique

C'est un grand dodécaèdre étoilé dont on aurait savamment tronqué les pointes d'où le quasi tronqué

Photo 114.jpg

Un modèle spectaculaire et très facile à faire puisque qu'il suffit d'assembler 20 coupes de 6 pièces soit 120 pièces

Ce solide a été décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

on trouve ce solide dans le livre de Max Brückner  Vielecke-Und-Vielflache, (1900)

09_r.jpg

W104.jpg

Un W104
W104Face1.jpg

Un W104 vu d'une face triangulaire
W104Face2.jpg

un W104 vue d'une face en forme d'étoile à 10 braanches
W104Sommet.jpg

Un W104 vu d'un sommet
W104VertexFigure.jpg

Un W104 et sa figure de sommet
W104VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W104 seule un triangle isocèle les deux grands côtés sut l'étoile à 10 branches et le petit côté sur le triangle

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un petit rhombicosidodécaèdre irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W71, W82, W90 mais pas le même rayon circonscrit

Il possède les mêmes sommets qu'un W95 avec le même rayon circonscrit

Faces : 12{10/3}+20{3}


W104etoile2.jpg

L'étoile à 10 branches est coupée

W104triangle2.jpg

 

Les triangles aussi

Sommets: 60

Arêtes : 90

Symbole de Wythoff 3  5 |  5/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de ((37-15Racine(5))/2) pour une arête de longueur  2

p.161 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 83

 

Retour au sommaire


 

W105

QuasiRhombicosidodécaèdre

Symétrie Icosaédrique

20 triangles Icosi 12 pentagrammes dodécaèdre + 30 carrés rhombi mais ce n'est pas le rhombicosidodécaèdre d'où quasi

W105.jpg

Je n'ai pas (encore) construit ce modèle de 980 pièces!

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig144.jpg

W105_.jpg

un W105
W105Face1.jpg

un W105 vu d'une face triangulaire
W105Face2.jpg

un W105 vu d'une face carrée
W105Face3.jpg

un W105 vu d'un pentagramme
W105Sommet.jpg

un W105 vu d'un sommet
W105VertexFigure.jpg

un W105 et sa figure de sommet
W105VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet seule du W105 le grand côté en haut à gauche est le triangle, le pentagramme en bas à droite et les deux carrés se croisent

 

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosaèdre tronqué irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W75, W99, W109

Il possède les mêmes arêtes que le W99, W109

Il possède les mêmes pentagrammes et triangles que le W99

il possède les mêmes carrés que le W109

Faces : 30{4}+12{5/2}+20{3}

W105pentagramme2.jpg

les pentagrammes sont coupés
W105triangle2.jpg

les triangles aussi
W105carre2.jpg

les carrés également mais ils sont vus tantôt dessus en jaune, tantôt dessous en orange

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 3  5/2 |  2

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (11-4Racine(5))) pour une arête de longueur  2

p.162-163 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 84


 

Retour au sommaire

W106

IcosiHémidodécaèdre

Symétrie Icosaédrique

20 triangles Icosi 6 des 12 étoiles à 10 branches Hémi (moitié) dodécaèdre

DSCF0095.JPGDSCF0093.JPG

180 pièces, pas trop difficile malgré les étoiles équatoriales et les cavités très profondes j'ai fini ce modèle le 22 octobre 2014

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig121.jpg

W106.jpg

un W106
W106Face1.jpg

un W106 vu d'un triangle
W106Face2.jpg

Un W106 vu d'une étoile équatoriale à 10 branches
W106Sommet.jpg

un W106 vu d'un sommet
W106VertexFigure.jpg

un W106 et sa figure de sommet
W106VertexFigureAlone.jpg

la figure de sommet du W106 seule les deux étoiles se croisent au centre, les deux triangles opposés

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un icosidodécaèdre, W89, W91, W73, W100, W102, W107, W94

Il possède les mêmes arêtes que le W107, W94

Il possède les mêmes triangles que le W94

il possède les mêmes étoiles à 10 branches que le W107

Faces : 6{10/3}+20{3}

W106Triangle2.jpg

les triangles sont coupés,
W106etoile2.jpg

les étoiles à 10 branches aussi, vu de dessus en jaune, et dessous en orange

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 3/2  3 |  5/3

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5)-1 pour une arête de longueur  2

p.164 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 85

p.114 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Retour au sommaire


 

W107

Grand dodécaHémiDodécaèdre

Symétrie Icosaédrique

12 pentagrammes Dodéca 6 des 12 étoiles à 10 branches Hémi (moitié) dodécaèdre

Photo 304.jpg

Un modèle assez facile à faire avec 132 pièces, remarquez qu'il n'est constitué que d'étoiles (Pentagramme et Décagramme)

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig122.jpg

W107.jpg

un W107
W107Face1.jpg

Un W107 vu d'une face
W107Sommet.jpg

un W107 vu d'un sommet
W107VertexFigure.jpg

Un W107 et sa figure de sommet
W107VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W107 seul, les grand côtés se croisent sur les étoiles à 10 branches, les petits côtés opposés sont sur les pentagrammes

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un icosidodécaèdre

Il possède les mêmes sommets qu'un icosidodécaèdre, W89, W91, W102, W100, W102, W106, W94

Il possède les mêmes arêtes que le W106, W94

Il possède les mêmes pentagrammes que le W94

il possède les mêmes étoiles à 10 branches que le W106

Faces : 6{10/3}+12{5/2}

Sommets: 30

Arêtes : 60

Symbole de Wythoff 5/3  5/2 |  5/3

W107pentagramme2.jpg

les pentagrammes sont coupés

W106etoile2.jpg

les étoiles à 10 branches aussi, vu de dessus en jaune, et dessous en orange

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (5)-1 pour une arête de longueur  2

p.165 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 86

p.115 de Shapes, Space and Symmetry, Alan Holden, Dover

Retour au sommaire


W108

Symétrie Icosaédrique

Ce polyèdre incroyablement complexe a été réalisé sur une imprimante 3D

https://static.blog4ever.com/2008/12/270085/artfichier_270085_5107445_201509090441275.jpeg

le 05 septembre 2015, 7 cm de hauteur

(Toujours réalisé par Olivier au fab lab de Ris Orangis Planète Science, la conception du fichier OpenScad réalisée par Jean-Jacques Dupas)

W108.jpg

Je n'ai pas (encore) réalisé ce polyèdre extrêmement complexe de 1020 pièces en papier

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

Fig149.jpg

Ce solide a été également et indépendamment décrit la première fois par J.Pitsch en 1881

W108_.jpg

un W108
W108Face1.jpg

un W108 vu d'une face hexagonale
W108Face2.jpg

un W108 vu d'une face carrée
W108Face3.jpg

un W108 vu d'une face en forme d'étoile à 10 branches
W108Sommet.jpg

un W108 vu d'un sommet
W108VertexFigure.jpg

un W108 et sa figure de sommet
W108VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W108 seule, le grand côté sur un hexagone, le moyen sur une étoile à 10 branches et le petit côté sur un carré

Quelques données sur ce polyèdre

ce polyèdre est inscrit dans un grand rhombicosidodécaèdre irrégulier

Faces : 12{10/3}+20{6}+30{4}

W108carre2.jpg

les carrés sont coupés,
W108hexagone2.jpg

les hexagones aussi,

W108etoile2.jpg

ainsi que les étoiles à 10 branches.

 

 

Sommets: 120

Arêtes : 180

Symbole de Wythoff 2 3 5/3 |

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (11-4Racine(5)) pour une arête de longueur  2

p.166-167 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 87

Retour au sommaire


W109

 Grand RhombiDodécaèdre

Symétrie Icosaédrique

12 étoiles à 10 branches Dodécaèdre, 30 carrés le rhombi

W109.jpg

Je n'ai pas (encore) construit ce polyèdre complexe de 612 pièces

Ce solide a été décrit la première fois par Albert Badoureau en 1881.

 Fig145.jpg

 

W109_.jpg

un W109
W109Face1.jpg

Un W109 vu d'une face carrée
W109Face2.jpg

un W109 vu d'une face en forme d'étoile à 10 branches
W109Sommet.jpg

un W109 vu d'un sommet
W109VertexFigure.jpg

un W109 et sa figure de sommet
W109VertexFigureAlone.jpg

La figure de sommet du W109 seul, les côtés sur les carrés se croisent au milieu reliant les côtés sur les étoiles à 10 branches

Quelques données sur ce polyèdre

 

ce polyèdre est inscrit dans un icosaèdre tronqué irrégulier

Il possède les mêmes sommets qu'un W74, W99, W105

Il possède les mêmes arêtes que le W99, W105 que le W99

Il possède les mêmes carrés que le W105

Il possède les mêmes étoiles à 10 branches que le W99

Faces : 30{4}+12{10/3}

W109etoile1.jpg

les étoiles à 10 branches sont coupées,
W109carre2.jpg

ainsi que les carrés vus s dessus en jaune et dessous en orange.

Sommets: 60

Arêtes : 120

Symbole de Wythoff 2  5/3(3/2 5/4) |

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (11-4Racine(5))) pour une arête de longueur  2

p.168-169 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 89

Retour au sommaire


 

W110

Construit le 11 mai 2015

Symétrie Icosaédrique

W110_1.jpgW110_2.jpg

Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450

 

Un polyèdre camus très coloré, 5 couleurs pour les triangles et 1 pour les pentagrammes, facile à construire (212 pièces) mais difficile à calculer, c'est un polyèdre camus avec plans de symétrie, Albert Badoureau aurait pu le découvrir, j'explique pourquoi  plus bas

12 pentagrammes (Suivant les axes des pentagones du dodécaèdre)

40 triangles (2x20 suivant les axes des triangles de l'icosaèdre )

60 triangles (presque dans l'axe des sommets)

 

La méthode pour calculer le W110 et le W118 est une adaptation de la méthode de Badoureau elle est à ma connaissance nouvelle et publiée ici pour la première fois, elle m'a permis d'obtenir ces deux polyèdres assez facilement, quelques heures avec le secours du calcul formel.

Une des idées géniales de Badoureau est de considérer des polyèdres archimédiens modifiés comme un icosaèdre tronqué dont les pentagones sont toujours réguliers et dont la longueur d'un côté sur deux des hexagones est réglable (ci-dessous l'enveloppe convexe du W110)

d'un point de vue calculatoire on part d'un icosaèdre, et sur chaque arête on définit deux nouveaux points qui sont à une distance lamda de chaque sommet, mais vers l'autre sommet. Le polyèdre sur lequel on travaille est l'enveloppe convexe de nos nouveaux points, par construction ils sont 60 soit deux fois plus que les arêtes de l'icosaèdre.

X110_4.jpg

Dans ce cadre il n'est pas possible d'avoir la longueur des arêtes du pentagramme égale aux arêtes des hexagones.

Mais Badoureau a oublié que l'on pouvait séparer les hexagones en 2 triangles en prennant un sommet sur deux de chaque hexagones. Nous obtenons une équation en lambda qui admet deux solutions, une positive qui nous permet de continuer le calcul, une négative qui donne le W118

W110_22.jpg

Maintenant il ne reste plus qu'à remarquer que l'on peut reboucher les trous avec 60 triangles supplémentaires presque dans l'axe des sommets et cela nous donne ce polyèdre camus, ces calculs étaient largement à la portée de Badoureau qui à conduit des calculs bien plus brillants.

W110_3.jpg

Ce polyèdre est camus car si les pentagrammes sont bien les pentagrammes habituels des polyèdres réflexifs les triangles auraient dû être dans la configuration de l'image suivante

W110_11.jpg

Les triangles bleus ont été dédoublés et tournés pour venir sur les sommets des pentagrammes, ce qui dans ce cas donne l'aspect camus, notez que les deux triangles font un angle de presque 30° (27°64) donc les triangles qui aparaissent par paires ne forment pas une étoile de David

 

 La première étape de la construction

 DSCF0297.JPG

Quelques données sur ce polyèdre

(40+60) {3}+12 {5/2}

W70pentagramme2.jpg

les 12 pentagrammes sont vus en entier

W110XXtriangle22.jpg

Les 40 triangles aussi mais ils sont entrelacés
W110XXtriangle32.jpg

Par contre les 60 triangles sont coupés

60 sommets

Symbole de Wythoff  | 3 3 5/2

Rayon de la sphère circonscrite 1/2 Racine de ( 13 + 3 Racine(5) +Racine(102+46 Racine(5))) pour une arête de longueur  2

C'est à ma connaissance la première fois que l'on donne une expression exacte de ce rayon, un peu complexe j'en conviens, soit 2.916380661477405102

p.172-173 de Polyhedron Models

 Il a été publié la première fois en 1954 dans l'articleCoxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 41

Retour au sommaire


W111

Symétrie Icosaédrique

60{3}+12{5/2}+12{5}

W111triangle2.jpg

Le diagrammes des 60 triangles notez les minuscules échardes qui font le charme de ce polyèdre
W111pentagone2.jpg

Le diagrammes des 12 pentagones notez, encore une fois, les minuscules échardes qui font le charme de ce polyèdre

W70pentagramme2.jpg

les 12 pentagrammes sont vus en entier

 

60 sommets (inscrit dans un dodécaèdre camus modifié)

 

Il a été décrit pour la première fois par Lesavre & Mercier,  sans dessin, en 1947

p.174-176 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 49

Retour au sommaire


 

W112

Symétrie Icosaédrique

Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 58

p.177-178 de Polyhedron Models

Retour au sommaire


 

W113

Symétrie Icosaédrique

Il a été décrit pour la première fois par Lesavre & Mercier,  sans dessin, en 1947

 

Voici un très beau modèle réalisé le 24 janvier 2016 au fab-lab de Ris-Orangis

W113.jpg

Voici matérialisé un pentagramme
W113Star.jpg

et ci-dessous 2 triangles
W113triangle.jpg

à chaque sommet 4 triangles et un pentagramme : un modèle délicieux avec ses rosettes pentagonales

p.179 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 73

Retour au sommaire


 

W114

Symétrie Icosaédrique

Il a été décrit pour la première fois par Lesavre & Mercier,  sans dessin, en 1947

p.180-182 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 76

Retour au sommaire


 

W115

Symétrie Icosaédrique

Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450

(20+60) {3} +(12+12) {5/2}

W11520triangle1.jpg

Le diagramme des 20 triangles
W1156Otriangles2.jpg

Le diagramme des 60 triangles

W115pentagramme2.jpg

Le diagramme des deux pentagrammes coplanaires

Rayon de la sphère circonscrite Racine de (2) pour une arête de longueur  2

Cp.183-185 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 80

Retour au sommaire


 

W116

Symétrie Icosaédrique

Il a été décrit pour la première fois par Lesavre & Mercier,  sans dessin, en 1947

p.186-188 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 88

Retour au sommaire


 

W117

Symétrie Icosaédrique

Il a été décrit pour la première fois par Lesavre & Mercier,  sans dessin, en 1947

p.189-193 de Polyhedron Models

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 90

Retour au sommaire


 

W118

 

Symétrie Icosaédrique

https://static.blog4ever.com/2008/12/270085/artfichier_270085_5107493_201509092507141.jpg

De plus en plus fort! Un W118 imprimé sur une imprimante 3D début juillet 2015, 9cm de hauteur

DSCN4914.jpg

un deuxième réalisé le 03 septembre 2015, 13 cm de hauteur

(Toujours réalisé par Olivier au fab lab de Ris Orangis Planète Science, la conception du fichier OpenScad réalisée par Jean-Jacques Dupas)

DSCN4918.jpg

les deux ensembles

W188_3.jpg

Le W118 peut être obtenu comme le W110

Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450

Voici les pentagrammes de la deuxième solution (Attention il y en a un blanc au premier plan un peu trop éclairé) nous voyons que les pentagrammes s'enchevêtrent, le fait de trouver une solution négative veut dire que les nouveaux sommets sont au delà de l'icosaèdre ce qui provoque l'enchevêtrement des pentagrammes

W118_1.jpg

Puis on ajoute les 20 triangles dédoublés soit 40 triangles enchevêtrés

W118_2.jpg

Pour finir on ajoute les 60 triangles rouges pour refermer le polyèdre

W188_3.jpg

Là il est beaucoup moins facile de voir où ajouter les 60 triangles rouges de la première figure

Même si en théorie ce polyèdre était accessible par Badoureau, les calculs ne sont pas plus compliqués que pour le W110 c'est moins simple en pratique, puisque même avec l'objet réel sous les yeux difficile de s'y retrouver.

Ce polyèdre camus possède des plans de symétrie et 1630 pièces si on veut le construire, une paille!

 

Pour se convaincre de la complexité de ce polyèdre voici sur la figure suivante une face en forme de pentagramme coupée par toutes les autres faces

W118penta2.jpg

Puis les deux triangles coplanaires (Ce sont les 40 triangles qui aparaissent par paires) coupés par les autres faces

W118david1.jpg

Enfin la dernière sorte triangle (les 60 triangles) coupée par les autres faces

W118triangle1.jpg

Quelques données sur ce polyèdre

(40+60) {3}+12 {5/2}

60 sommets

Symbole de Wythoff  | 3/2 3/2 5/2

Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 91

p.194-199 de Polyhedron Models

Retour au sommaire


 

W119

Symétrie Icosaédrique

 

(20+20){3}+(30+30){4}+(12+12){5/2}

W119pentagramme2.jpg

Les 2 fois 12 pentagrammes coplanaires coupés
W119triangle2.jpg

les 2 fois 20 triangles coplanaires coupés
W119carre2.jpg

les 2 fois 30 carrés coplanaires coupés et vus de dessus en jaune et de dessous en orange

 

Ce polyèdre à été découvert par Miller, c'est le seul polyèdre uniforme que l'on ne peut pas construire par la méthode de Wythoff

Il a été publié la première fois en 1954 dans l'article Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450

Coxeter, H.S.M., Longuet-Higgins, M.S., Miller, J.C.P., Uniform Polyhedra. Phil. Trans. 1954, 246A, 401-450 fig 92

p.200-203 de Polyhedron Models 

 Retour au sommaire

 

Fin provisoire de cet article

 



05/05/2015
0 Poster un commentaire

Inscrivez-vous au blog

Soyez prévenu par email des prochaines mises à jour

Rejoignez les 168 autres membres